针对包含覆盖面和频次数据的媒体渠道进行优化

对于有覆盖面和频次数据的媒体渠道，除了优化各个渠道间的预算分配比例之外，还有机会优化目标平均广告展示频次。不过，只是有了某个渠道的覆盖面和频次数据，并不一定意味着广告客户就能高度掌控平均频次。Meridian 提供了根据每个渠道的最佳平均频次或历史平均频次执行预算优化的选项。

• 对于使用历史平均频次的每个渠道，无论预算分配比例如何，都假设每个区域和时间段内的平均频次保持不变。

• 对于每个需要优化频次的渠道，Meridian 首先会求解最佳频次值。这种优化方法要求所有区域和时间段的最佳频次都相等。此限制有两个目的：第一，获得更易于实施的目标频次策略；第二，使优化过程更加受控。根据 Meridian 模型规范，最佳频次并不取决于预算分配比例。

无论哪种情况，在任何给定的预算水平下，都假设根据各地理区域和时间段的历史排期模式来分配展示次数。假设您要为一组区域 $G$ 和时间区间 \([t_0,t_1]\)计算预算优化方案。假设 \(c_i^{[RF]}= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t,i}^{[RF]} \cdot \ddot r_{g,t,i}^{[RF]} \cdot f_{g,t,i}^{[RF]}\) 为每个渠道 $i$ 在优化区域和时间段内的实际历史预算。以一对向量\(b=(b_1,\ldots b_{N_{RF}})\) 和 \(b^{[RF]}=(b_1^{[RF]}, \ldots b_{N_{RF}}^{[RF]})\)表示提议在所有渠道间分配预算的比例，以\(f=\{f_{g,t,i}^{\ast}\}\)表示一组提议的平均频次目标值，其中 \(f_{g,t,i}^* \geq 1\ \forall g,t,i\)。星号用于区分提议的频次和历史频次。

使用历史排期模式时，每个地理位置和时间段的覆盖面定义如下：

对于 \(t \in [t_0-L,t_1]\)，\(\ddot r_{g,t,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} = \dfrac{ \ddot r_{g,t,n}^{[RF]} f_{g,t,n}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,n}^*c_i^{[RF]} }\)

转换后的相应媒体单位数为：

\(r_{g,t,n}^{(b^{[RF]},f)} = L_{g,i}^{[RF]}\left(\ddot r_{g,t,i}^{[b,f]}\right) = \dfrac{ r_{g,t,i}^{[RF]} f_{g,t,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,i}^*c_i^{[RF]} }\)

最佳频次

现在，预期结果是预算向量 \(b\) 和\(b^{[RF]}\) 以及目标频次 \(f\)的函数：

对于任何给定的预算分配方案和一组目标频次，第 \(i^{th}\) 个渠道的最佳频次定义如下：

\(b_i^{[RF]}\) 和 \(c_i^{[RF]}\) 完全不计入目标函数，因此最佳频次与预算分配无关。这样，就可以先求解出最佳频次，然后将这些值插入预期结果函数中，以优化预算分配。

固定预算优化

我们来看总预算为 \(C\)条件下的一种固定预算优化方案。将此总预算的所有预算向量的集合定义为 \(B_C = \left\{b, b^{(rf)}: \sum\limits_{m=1}^M b_m + \sum\limits_{n=1}^Nb_n^{(rf)}=C \right\}\)。Meridian 提供了根据每个渠道的最佳平均频次或历史平均频次执行预算优化的选项。假设频次为最佳频次或历史频次，待优化的量为预期结果，定义如下：将此总预算的所有预算向量的集合定义为 \(B_C = \left\{b, b^{[RF]}: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} b_i^{[RF]}=C \right\}\)。Meridian 提供了根据每个渠道的最佳平均频次或历史平均频次执行预算优化的选项。假设频次为最佳频次或历史频次，待优化的量为预期结果，定义如下：

最佳频次下的预期结果：

\(EO_ \text{optimalfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,i}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],\text{optimal}]}, f_{\text{optimal},i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

历史频次下的预期结果：

\(EO_ \text{historialfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,m}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],f]}, f^{[RF]}_{g,t,i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

其中， \(f_{\text{optimal},i}\) 和 \(f_{g,t,i}\) 是预定义属性，分别表示第 \(i\)个渠道的最佳频次和历史频次，

因此有两个形参，即 \(b\) 和 \(b^{[RF]}\)。

实际形参值未知。Meridian 使用后验分布来估计预期效果。为了优化预算，系统会将预期结果的后验均值用作目标函数。最佳预算向量定义如下。

采用最佳频次后的最佳预算分配：

采用历史频次后的最佳预算分配：

其中：

• \(J\) 定义为 MCMC 后验抽样总数。
• 每个形参的第 \(j\)次后验抽样用上标 \(^{(j)}\)表示。

灵活预算优化

灵活预算优化是指在允许总预算变化的同时，对预期结果进行优化。优化过程受到最低边际投资回报率 (mROI) 或投资回报率目标值限制的约束。此外，优化时还要考虑每个渠道的最佳平均频次或历史平均频次。

投资回报率目标值限制

指定了投资回报率目标值时，Meridian 会搜索所有预算向量 \(b=(b_1,\ldots,b_{N_M})\) ，使总投资回报率 \(ROI \geq ROI_{target}\ \forall i\)，同时允许总预算\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) 发生变化。最佳预算向量定义如下。

采用最佳频次后的最佳预算分配：

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

采用历史频次后的最佳预算分配：

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

其中，投资回报率目标值限制适用于总体营销投资回报率层面，而非渠道层面。

最低边际投资回报率限制

当指定了最低边际投资回报率时，Meridian 会搜索所有预算向量 \(b=(b_1, \ldots, b_{N_M})\) ，使边际投资回报率\(mROI_i \geq mROI_{minimal}\ \forall i\)，同时允许总预算\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) 发生变化。最佳预算向量定义如下：

采用最佳频次后的最佳预算分配：

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_\text{minimal}\ \forall i \)

采用历史频次后的最佳预算分配：

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)

其中，最低边际投资回报率适用于渠道层面，而不是总体营销层面。

渠道级支出限制

渠道级支出限制适用于固定预算优化和灵活预算优化，可防止出现不合理的优化结果，例如将所有支出都投入到一个渠道中。渠道级支出限制的定义如下：

其中：

• \(b_i^{'}\) 是渠道 $i$ 未优化的支出。
• \(LB_i\) 是用户指定的下限，其值介于 \(0\)和 \(1\)之间。
• \(UB_i\) 是用户指定的上限，其值大于\(1\)。