Ottimizzazione per i canali media con dati su copertura e frequenza

Per i canali media con dati su copertura e frequenza, è possibile ottimizzare la frequenza media degli annunci target, oltre all'allocazione del budget tra i canali. Tuttavia, il semplice fatto che i dati sulla copertura e sulla frequenza siano disponibili per un canale non significa necessariamente che un inserzionista abbia un elevato grado di controllo sulla frequenza media. Meridian offre la possibilità di eseguire l'ottimizzazione del budget in base alla frequenza media ottimale o alla frequenza media storica per ciascun canale.

  • Per ogni canale in cui viene utilizzata la frequenza media storica, si presume che la frequenza media in ogni regione e periodo di tempo rimanga costante, indipendentemente dall'allocazione del budget.

  • Per ogni canale in cui è preferita l'ottimizzazione della frequenza, Meridian calcola prima il valore di frequenza ottimale. Questa ottimizzazione vincola la frequenza ottimale a essere uguale per tutte le regioni e tutti i periodi di tempo. Questa limitazione ha due scopi: in primo luogo, ottenere una strategia di frequenza target più pratica da implementare e, in secondo luogo, rendere più gestibile la routine di ottimizzazione. In base alle specifiche del modello Meridian, la frequenza ottimale non dipende dall'allocazione del budget.

In entrambi i casi, si presume che le impressioni per un determinato livello di budget vengano allocate in base al modello di pubblicazione storico in regioni geografiche e periodi di tempo. Supponiamo che tu voglia calcolare un'ottimizzazione del budget per un insieme di regioni G e per un intervallo di tempo \([t_0,t_1]\). Sia \(c_i^{[RF]}= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t,i}^{[RF]} \cdot \ddot r_{g,t,i}^{[RF]} \cdot f_{g,t,i}^{[RF]}\) il budget storico effettivo per ciascun canale $i$ nelle regioni e nei periodi di tempo di ottimizzazione. È indicata una proposta di allocazione del budget su tutti i canali sotto forma di una coppia di vettori \(b=(b_1,\ldots b_{N_{RF}})\) e \(b^{[RF]}=(b_1^{[RF]}, \ldots b_{N_{RF}}^{[RF]})\)e un insieme proposto di target di frequenza media come \(f=\{f_{g,t,i}^{\ast}\}\), dove \(f_{g,t,i}^* \geq 1\ \forall g,t,i\). L'asterisco distingue la frequenza proposta dalla frequenza storica.

Utilizzando il modello di pubblicazione storico, la copertura per ogni periodo di tempo e area geografica è definita come:

\(\ddot r_{g,t,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} = \dfrac{ \ddot r_{g,t,n}^{[RF]} f_{g,t,n}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,n}^*c_i^{[RF]} }\) per \(t \in [t_0-L,t_1]\)

e le unità di contenuti multimediali trasformate corrispondenti come:

\(r_{g,t,n}^{(b^{[RF]},f)} = L_{g,i}^{[RF]}\left(\ddot r_{g,t,i}^{[b,f]}\right) = \dfrac{ r_{g,t,i}^{[RF]} f_{g,t,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,i}^*c_i^{[RF]} }\)

Frequenza ottimale

Il risultato previsto ora è una funzione dei vettori di budget \(b\) e \(b^{[RF]}\) , nonché delle frequenze target \(f\):

$$ \begin{multline*} E(\text{ExpectedOutcome}(b,b^{[RF]},f)| \text{Data}) = \\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \tau_g^{(j)} + \mu_t^{(j)} + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} + \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^*; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{multline*} $$

Per una determinata allocazione del budget e un insieme di frequenze target, la frequenza ottimale del \(i^{th}\) canale è definita come segue:

$$ \begin{align*} f_{optimal,i} &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ E \left( \text{ExpectedOutcome} \left( b, b^{[RF]}, f \right) \Big| \text{Data} \right) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{ f_i c_i^{[RF]} } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \\ &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{b_i^{[RF]}}{c_i^{[RF]}} \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ \dfrac{ r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} }{ f_i } \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\(b_i^{[RF]}\) e \(c_i^{[RF]}\) vengono completamente esclusi dalla funzione obiettivo, pertanto la frequenza ottimale non dipende dall'allocazione del budget. Di conseguenza, è possibile risolvere prima le frequenze ottimali, quindi inserire questi valori nella funzione di risultato prevista per ottimizzare l'allocazione del budget.

Ottimizzazione del budget fisso

Valuta la possibilità di eseguire un'ottimizzazione del budget fisso con budget totale \(C\). Definisci l'insieme di tutti i vettori di budget con questo budget totale come \(B_C = \left\{b, b^{(rf)}: \sum\limits_{m=1}^M b_m + \sum\limits_{n=1}^Nb_n^{(rf)}=C \right\}\). Meridian offre la possibilità di eseguire l'ottimizzazione del budget in base alla frequenza media ottimale o alla frequenza media storica per ciascun canale. La quantità ottimizzata è il risultato previsto supponendo che la frequenza sia ottimale o storica, definita come segue: \(B_C = \left\{b, b^{[RF]}: \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} b_i^{[RF]}=C \right\}\)di tutti i vettori di budget con questo budget totale. Meridian offre la possibilità di eseguire l'ottimizzazione del budget in base alla frequenza media ottimale o alla frequenza media storica per ciascun canale. La quantità ottimizzata è il risultato previsto supponendo che la frequenza sia ottimale o storica, definita come segue:

Risultato previsto per una frequenza ottimale:

\(EO_ \text{optimalfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,i}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],\text{optimal}]}, f_{\text{optimal},i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

Risultato previsto per la frequenza storica:

\(EO_ \text{historialfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{ x_{g,t,m}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],f]}, f^{[RF]}_{g,t,i} \right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)

dove \(f_{\text{optimal},i}\) e \(f_{g,t,i}\) sono proprietà predefinite che rappresentano la frequenza ottimale e la frequenza storica per il \(i\)th

canale, quindi sono presenti due parametri, \(b\) e \(b^{[RF]}\).

I valori effettivi dei parametri sono sconosciuti. Meridian stima il risultato previsto utilizzando una distribuzione a posteriori. Per ottimizzare il budget, viene utilizzata come funzione obiettivo la media post-data del risultato previsto. Il vettore del bilancio ottimale è definito come segue.

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza ottimale:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal} \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza storica:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_{historicalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| Data \right] \\ = \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

Dove:

  • \(J\) è definito come il numero totale di estrazioni posteriori MCMC.
  • Il \(j\)th esito posteriore di ciascun parametro è indicato con il superscritto \(^{(j)}\).

Ottimizzazione del budget flessibile

Per l'ottimizzazione del budget flessibile, il risultato previsto viene ottimizzato, consentendo al contempo di variare il budget totale. Il processo di ottimizzazione è soggetto ai vincoli imposti dal ritorno sull'investimento (ROI) marginale minimo o dai vincoli del ROI target. Inoltre, l'ottimizzazione prende in considerazione la frequenza media ottimale o la frequenza media storica per ogni canale.

Vincolo ROI target

Quando è specificato il ROI target. Ciò significa che Meridian esegue ricerche in tutti gli vettori di budget \(b=(b_1,\ldots,b_{N_M})\) in modo che il ROI totale \(ROI \geq ROI_{target}\ \forall i\), pur consentendo al budget totale \(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) di variare. Il vettore del budget ottimale è definito come segue.

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza ottimale:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} Hill \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza storica:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_{\text{optimal}}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{historicalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)

Se la limitazione del ROI target viene applicata a livello di ROI di marketing totale e non a livello di canale.

Vincolo di mROI minimo

Quando viene specificato il ROI marginale minimo, Meridian esegue una ricerca in tutti gli vettori di budget \(b=(b_1, \ldots, b_{N_M})\) in modo che il ROI marginale\(mROI_i \geq mROI_{minimal}\ \forall i\), pur consentendo al budget totale\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) di variare. Il vettore del budget ottimale è definito come segue:

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza ottimale:

$$ \begin{align*} b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b,b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)} \text{Hill} \Bigl( f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_\text{minimal}\ \forall i \)

Allocazione ottimale del budget quando viene utilizzata la frequenza storica:

$$ \begin{align*} b_\text{optimal}, b_\text{optimal}^{[RF]} = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[ EO_\text{historicalfreq}\left(b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data} \right] \\ = \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl( \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl( \Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L; \alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)} \biggr) \\ & + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} \text{Hill} \Bigl( f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L \biggr) \Biggr) \end{align*} $$

\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)

Dove il ROI medio minimo viene applicato a livello di canale e non a livello di marketing totale.

Vincoli di spesa a livello di canale

I vincoli di spesa a livello di canale sono disponibili sia per l'ottimizzazione del budget fisso sia per quella del budget flessibile per evitare risultati di ottimizzazione irragionevoli, come l'allocazione di tutta la spesa in un unico canale. Il vincolo di spesa a livello di canale è definito come:

$$ (b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i^{'} \times UB_i) \space \forall i $$

Dove:

  • \(b_i^{'}\) è la spesa non ottimizzata per il canale $i$.
  • \(LB_i\) è il limite inferiore specificato dall'utente con un valore compreso tra \(0\) e \(1\).
  • \(UB_i\) è il limite superiore specificato dall'utente con un valore maggiore di \(1\).
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