Meridian 预算优化会估算每个渠道在一组指定地理位置和时间段内的最佳总预算。预算优化假定每个渠道的排期模式是固定的，并且每媒体单位费用不取决于为渠道分配的预算。（每媒体单位费用可能会因地理位置和/或时间段而异，但不取决于为渠道分配的预算。）这些假设决定了给定渠道预算如何在每个地理位置和时间段转化为相应数量的媒体单位。
渠道的排期模式定义为媒体单位在各个地理位置和时间段的相对分配比例。默认情况下，优化以历史数据中的一组地理位置和时间段为依据，并会沿用历史排期模式。不过，排期模式可以自定义，并且可以包含不同于历史时段的时间段。例如，为了进行预算规划，可以设定一个对应未来时段的假想排期模式。
系统会根据提供的输入数据来推断渠道的每媒体单位费用。它可以（但不必）因地理位置和/或时间段而异。默认情况下，优化以历史数据中的一组地理位置和时间段为依据，并会沿用过去的每媒体单位费用。不过，您也可以自定义每媒体单位费用，以反映相应的费用情况（例如预计的未来费用）。
排期模式和每媒体单位费用的应用方式如下所示。假设要计算 \(N_M\) 媒体渠道在一组区域 \(G\) 和时间区间 \([t_0,t_1]\)内的预算优化。考虑任何预算向量\(b=(b_1,\ldots b_{N_M})\) ，其中 \(b_i \geq 0\) 表示在这些区域和时间段内分配给渠道 \(i\) 的总预算。设\(c_i=\sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1}\ \ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}
u_{g,t,i}^{[M]}\) 为每个渠道 \(i\) 在优化区域和时间段内的实际历史预算。如需获得预算向量 \(b\)下每个地理位置和时间段的媒体单位数，可将每个渠道的历史媒体单位数按 \(\frac{b_i}{c_i}\)比率调整。
因此，在给定的预算向量 \(b\)下，原始媒体单位数的定义为：
\( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} = \dfrac{\ddot{x}^{[M]}_{g,t,i}b_i }{c_i}\) ，其中\(t \in [t_0-L,t_1] \)
转换后的相应媒体单位数为：
\( x_{g,t,m}^{[b]} = L_{g,i}^{[M]}\left( \ddot{x}_{g,t,i}^{[b]} \right) =
\dfrac{x_{g,t,i}b_i}{c_i} \)
媒体单位数在所有时间段（包括 \(t_0\)之前的时间段）内都是按比例缩放的。预算 \(C\) 与时间区间\([t_0,t_1],\) 对应，此方案会捕获同一区间 \([t_0,t_1]\)内产生的预期效果。这包括在 \(t_0\)之前执行的媒体带来的效果，但不包括\(t_1\)之后媒体的滞后效应。因此，预期效果与预算并不完全一致，但如果时间区间较长，或者 \([t_0-L,t_0-1]\) 期间的媒体执行与\([t_1+1,t_1+L]\)期间的媒体执行类似，则预期效果应与预算相似。
这一定义有利有弊，但有利之处在于预期效果不依赖于 \(t_1\)之后的媒体执行情况，而这可能是未知的。当 hill_before_adstock=False 时，这个问题尤为突出，因为在这种情况下，\(t_1\) 之后的媒体执行可能会改变\([t_1+1,t_1+L]\)期间执行的媒体的滞后效应。
固定预算优化
不妨考虑进行固定预算优化，假设总预算为 \(C\)。将此总预算的所有预算向量集定义为 \( B_C = \left\{ b:
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i=C \right\} \)。待优化的量为预期效果，定义如下：
$$
\begin{multline*}
\text{ExpectedOutcome}(b) = \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E \left(
\overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{[b]} \right\} \right)
} \Bigg| \{z_{g,t,i}\}
\right) \\
= \sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[y]-1}
\left(
\mu_t + \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i}\ +
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L; \alpha^{M}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right)
\right)
\end{multline*}
$$
真正的形参值未知。由于 Meridian 是贝叶斯模型，因此预期效果服从后验分布。预算优化的目标函数选择为预期效果的后验均值，相当于预测效果后验分布的均值。最佳预算向量定义如下：
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ &
E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\& +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right)
\end{align*}
$$
其中：
- \(J\) 是马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 后验抽样的总数。
- 每个形参的第 \(j\)次后验抽样用上标 \(^{(j)}\)表示。
灵活预算优化
灵活预算优化是指在允许总预算变化的同时，对预期效果进行优化。优化受最小边际投资回报率或投资回报率目标值限制的约束。
投资回报率目标值限制
当指定了投资回报率目标值时，Meridian 会搜索所有预算向量 \(b=(b_1,\ldots ,b_{N_M})\) ，使总投资回报率 \(\text{ROI} \geq
\text{ROI}_{target}\
\forall m\)，同时允许总预算 \(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\)发生变化。最佳预算向量定义如下：
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec^{[M](j)}_i, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right) \\
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{ExpectedOutcome}_i}{
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)
其中，投资回报率目标值限制适用于总体营销投资回报率层面，而非渠道层面。
最低边际投资回报率限制
当指定了最低边际投资回报率时，Meridian 会搜索所有预算向量 \(b=(b_1,\dots,b_{N_M})\) ，使边际投资回报率\(\text{mROI}_i \geq \text{mROI}_{minimal}\ \forall i\)，同时允许总预算 \(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) 发生变化。最佳预算向量定义如下：
$$
\begin{align*}
b_{optimal} = \underset{b}{\text{argmax}}\ & E\left[ \text{ExpectedOutcome}(b) | \text{Data} \right] \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\mu_t^{(j)} +
\tau_g^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} \\ & +
\sum\limits_{i-1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\Biggl) \\
= \underset{b}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} \left(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \left(
\left\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \right\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},ec_i^{[M](j)},\text{slope}_i^{[M](j)}
\right)
\right) \\
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)
其中，边际投资回报率适用于渠道层面，而不是整个营销层面。
渠道级支出限制
渠道级支出限制适用于固定预算优化和灵活预算优化，可防止出现不合理的优化结果，例如将所有支出都投入到一个渠道中。渠道级支出限制的定义如下：
$$
(b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i{'} \times UB_i) \space \forall i
$$
其中：
- \(b_i^{'}\) 是渠道 \(i\)未优化的支出。
- \(LB_i\) 是用户指定的下限，其值介于 \(0\)和 \(1\)之间。
- \(UB_i\) 是用户指定的上限，其值大于\(1\)。
