增量效果
对于给定的媒体渠道 \(q\),增量效果定义为:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
其中:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) 是观测到的媒体值
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M] (0,q)} \right\}\) 表示所有渠道的观测媒体值,但渠道 \(q\)除外(该渠道在所有位置的观测媒体值均设置为零)。更具体地说:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
投资回报率
渠道 \(q\) 的投资回报率定义为:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
其中, \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
请注意,投资回报率的分母表示特定时间段内的媒体费用,该时间段与定义增量效果的时间段一致。因此,分子中的增量效果包括在此时间窗口之前执行的媒体的滞后效应,同样,也不包括在此时间窗口期间执行的媒体的未来效应。这样一来,分子中的增量效果与分母中的费用并不完全一致。不过,从相对较长的时间窗口来看,这种不一致就不那么明显了。
需要注意的是,反事实媒体情景 (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) 可能实际上并没有在数据中体现出来。在这种情况下,有必要根据模型假设进行外推,以推理出反事实情景。
响应曲线
根据增量效果的定义,渠道 \(q\) 的响应曲线被定义为一个函数,该函数以渠道 \(q\)支出函数的形式返回增量效果:
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
其中, \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) 表示所有渠道的观测媒体值,但渠道 \(q\)除外(该渠道在所有位置的观测媒体值均需乘以系数 \(\omega\) )。更具体地说:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
边际投资回报率 (mROI)
渠道 \(q\) 的边际投资回报率 (mROI) 定义为:
其中, \(\delta\) 是一个较小的量,例如 \(0.01\)。
请注意,响应曲线和边际投资回报率的定义隐含了一个假设,即每个媒体单位的费用保持不变,始终等于每个媒体单位的历史平均费用。