Per un determinato canale media \(q\), il risultato incrementale è definito come:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
Dove:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) sono i valori medi osservati
- \(\left\{ x_{g,t,m}^{[M] (0,q)} \right\}\) indica i valori medi osservati per tutti i canali tranne il canale \(q\), che è impostato su zero ovunque. Più nello specifico:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
Il ROI del canale \(q\) è definito come:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
Dove \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
Tieni presente che il denominatore del ROI rappresenta il costo dei media in un periodo di tempo specificato in linea con il periodo di tempo in cui è definito il risultato incrementale. Di conseguenza, il risultato incrementale nel numeratore include l'effetto ritardato dei contenuti multimediali pubblicati prima di questa finestra temporale ed esclude in modo simile l'effetto futuro dei contenuti multimediali pubblicati durante questa finestra temporale. Di conseguenza, il risultato incrementale nel numeratore non è perfettamente in linea con il costo nel denominatore. Tuttavia, questo disallineamento sarà meno significativo in un periodo di tempo ragionevolmente lungo.
Tieni presente che lo scenario media controfattuale (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) potrebbe non essere effettivamente rappresentato nei dati. In questi casi, è necessaria l'estrapolazione in base alle ipotesi del modello per dedurre il gruppo di controllo.
Generalizzando la definizione del risultato incrementale, la curva di risposta è definita per il canale \(q\) come funzione che restituisce il risultato incrementale come funzione della spesa per il canale \(q\):
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
Dove \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) indica i valori medi osservati per tutti i canali tranne il canale \(q\), che viene moltiplicato per un coefficiente \(\omega\) ovunque. Più nello specifico:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
Il ROI marginale del canale \(q\) è definito come:
dove \(\delta\) è una piccola quantità, ad esempio \(0.01\).
Tieni presente che le definizioni della curva di risposta e del ROI marginale presuppongono implicitamente un costo per unità di media costante pari al costo medio per unità di media storico.