Conforme a los supuestos de intercambiabilidad y coherencia, la expectativa condicional de cualquier resultado potencial \(\overset \sim Y_{g,t}^{
\left(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}\right) }\) se puede expresar como una expectativa condicional que se puede estimar por medio de un modelo de regresión, en el que\(x_{g,t,i}^{(\ast)}\) representa el conjunto de variables de tratamiento que se pueden intervenir: medios, medios orgánicos y tratamientos que no son de medios. Para esta demostración, suponemos que los canales de medios pagados y orgánicos se basan en impresiones, aunque esto también se aplica a los canales basados en el alcance y la frecuencia.
Según las definiciones que se describen en Datos de entrada, esto se puede formular de la siguiente manera:
$$
\begin{align*}
\overset \sim Y_{g,t} &= u_{g,t}^{[Y]} \overset {\cdot \cdot} Y_{g,t} \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t})
\end{align*}
$$
Meridian también se basa en el hecho de que la función de transformación de KPI previa al modelado \(L_{g,t}^{[Y]}(\cdot)\) es lineal y, por lo tanto, se puede pasar fuera del operador de la expectativa condicional. Esto genera la siguiente equivalencia, en la que el resultado es una cantidad que se puede estimar con un modelo de regresión, como el modelo de Meridian:
$$
\begin{align*}
E\left(\overset \sim Y_{g,t}^{(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\})} \Big|
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)
&= E\left( \overset \sim Y_{g,t} \Big|
\bigl\{x_{g,t,i}^{(\ast)}\bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= E\left( u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t}) \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right)
\end{align*}
$$
Tomando eso como base, la regresión se puede usar para estimar el KPI incremental entre dos situaciones contrafácticas \(\left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\}\)y \(\left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\}\):
$$
\begin{align*}
\text{IncrementalOutcome} \left( \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\} \right)
&= E\left( \sum\limits_{g,t}\left( \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\} \right)
} - \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\} \right)
} \right) \Bigg| \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_g^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)\right) -
\sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,c} \bigr\}
\right) \right)
\end{align*}
$$
En las especificaciones del modelo Meridian:
$$
\begin{align*}
E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) =
\mu_t &+ \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_N} \gamma^{[N]}_{g,i}x^{[N] (\ast)}_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[M] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[M]}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right) \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_{OM}} \beta^{[OM]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[OM] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[OM]}_i, ec^{[OM]}_i, \text{slope}^{[OM]}_i
\right)
\end{align*}
$$
Esta cantidad es una función de los parámetros del modelo y, por lo tanto, tiene una distribución a posteriori que Meridian puede muestrear con el método de Monte Carlo basado en cadenas de Markov (MCMC). El ROI, el mROI y las curvas de respuesta se pueden calcular según la definición de resultado incremental, y cada una de estas cantidades también posee una distribución a posteriori.
