媒体饱和度与滞后

通常情况下，媒体渠道对销售的影响具有滞后效应，随着时间的推移会慢慢减弱。Meridian 的模型结构旨在通过几何衰减 Adstock 函数来捕捉这种效应。如需了解详情，请参阅“A Hierarchical Bayesian Approach to Improve Media Mix Models Using Category Data”（使用类别数据改进媒体组合模型的分层贝叶斯方法）和“Bayesian Methods for Media Mix Modeling with Carryover and Shape Effects”（利用延滞效应和形状效应进行媒体组合建模的贝叶斯方法）。

Adstock 函数

Adstock 函数的定义如下：

其中：

• \(x_s \geq 0; s = t, t-1, \cdots, t-L\)

• \(\alpha\ \in\ [0, 1]\) 是几何衰减率

• \(L\) 是最大滞后时长

同样直观的是，随着给定时间段内给定媒体渠道的支出不断增加，您最终会看到边际回报递减，例如达到饱和。Meridian 通过一个双形参函数（名为“Hill 函数”）来模拟这种饱和效应。

Hill 函数

Hill 函数的定义如下：

其中：

• \(x \geq 0\)

• \(ec > 0\) 是半饱和点，这意味着\(\text{Hill}(x=ec; ec, \text{slope}) = 0.5\)

• \(\text{slope} > 0\) 是一个形参，用于控制函数形状：

  • \(\text{slope} \leq 1\) 对应于凹形
  • \(\text{slope} > 1\) 对应于 S 形函数，当 \( x < ec \) 时为凸函数，当 \( x > ec \)时为凹函数

重要提示：Hill 函数形参的模型估计值基于观测到的媒体数据范围。拟合的响应曲线可外推至此范围之外，但在解读基于外推的结果时应保持适当的谨慎。

Hill 函数可以在 Adstock 转换之前或之后应用，具体取决于 ModelSpec 的布尔值 hill_before_adstock 实参。默认设置为 hill_before_adstock = False，这会使渠道 \(m\) 在地理位置 \(g\) 和时间段 \(t\)的媒体效应等于\(\beta_{g,m} \text{Hill}(\text{Adstock}(x_t,x_{t-1},\cdots,x_{t-L};\ \alpha_m) ;ec_m, \text{slope}_m)\)。