リーチとフリークエンシーのデータがあるメディア チャネルでは、チャネル間の予算配分を最適化するだけでなく、広告の平均フリークエンシー目標を最適化することもできます。ただし、チャネルでリーチとフリークエンシーのデータが利用可能であっても、広告主様が平均フリークエンシーを詳細に制御できるとは限りません。メリディアンでは、各チャネルの最適な平均フリークエンシーまたは過去の平均フリークエンシーに基づいて、予算を最適化できます。
過去の平均フリークエンシーが参照される各チャネルでは、予算配分に関係なく、各地域および各期間の平均フリークエンシーが一定であると想定されます。
フリークエンシーの最適化が推奨されるチャネルの場合、メリディアンはまず、最適なフリークエンシー値を計算します。この最適化では、最適なフリークエンシーがすべての地域と期間で同じになるように強制されます。この強制には 2 つの目的があります。1 つは、より実用的なフリークエンシー目標戦略を取得するためです。もう 1 つは、最適化ルーティンを扱いやすくするためです。メリディアン モデルの仕様に基づくと、最適なフリークエンシーは予算配分に依存しないことがわかります。
どちらの場合でも、どのような予算レベルでも、地域と期間全体での過去のフライティング パターンに即してインプレッションが割り当てられると仮定されます。たとえば、地域のグループ $G$ と時間間隔 \([t_0,t_1]\)に対し、最適な予算を計算するとします。 \(c_i^{[RF]}=
\sum\limits_{g \in G} \sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t,i}^{[RF]} \cdot \ddot
r_{g,t,i}^{[RF]} \cdot f_{g,t,i}^{[RF]}\) は、最適化対象の地域と期間における各チャネル $i$ の実際の過去の予算とします。すべてのチャネルを対象として提案される予算配分は、ベクトルのペア\(b=(b_1,\ldots b_{N_{RF}})\) と \(b^{[RF]}=(b_1^{[RF]}, \ldots
b_{N_{RF}}^{[RF]})\)で表され、提案される平均フリークエンシー目標のセットは、\(f=\{f_{g,t,i}^{\ast}\}\)で表されます。これは \(f_{g,t,i}^* \geq 1\ \forall g,t,i\)となります。アスタリスクは、提案されたフリークエンシーと過去のフリークエンシーを区別します。
過去のフライティング パターンを基に、各地域と各期間のリーチは次のように定義されます。
\(t \in
[t_0-L,t_1]\)に対して\(\ddot r_{g,t,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)} = \dfrac{ \ddot r_{g,t,n}^{[RF]}
f_{g,t,n}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,n}^*c_i^{[RF]} }\)
これに対応する変換後のメディア単位は次のようになります。
\(r_{g,t,n}^{(b^{[RF]},f)} = L_{g,i}^{[RF]}\left(\ddot r_{g,t,i}^{[b,f]}\right)
= \dfrac{ r_{g,t,i}^{[RF]} f_{g,t,i}^{[RF]} b_i^{[RF]} }{f_{g,t,i}^*c_i^{[RF]}
}\)
最適なフリークエンシー
想定される結果は次のように、予算ベクトル \(b\) と\(b^{[RF]}\) 、フリークエンシー目標 \(f\)の関数になります。
$$
\begin{multline*}
E(\text{ExpectedOutcome}(b,b^{[RF]},f)| \text{Data}) = \\
\frac{1}{J} \sum\limits_{j=1}^J \sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1} u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1}
\Biggl(
\tau_g^{(j)} +
\mu_t^{(j)} +
\sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma_{g,i}^{[C](j)}z_{g,t,i} +
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)}, ec_i^{[M](j)}, \text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)} \text{Hill} \Bigl(
f_{g,t-s,i}^*; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{multline*}
$$
どのような予算配分とフリークエンシー目標のセットであっても、チャネル \(i^{th}\) の最適なフリークエンシーは次のように定義されます。
$$
\begin{align*}
f_{optimal,i} &= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ E \left(
\text{ExpectedOutcome} \left( b, b^{[RF]}, f \right) \Big| \text{Data} \right) \\
&= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{
\dfrac{
r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]} b_i^{[RF]}
}{
f_i c_i^{[RF]}
} \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr)
\Bigr\}_{s=0}^L \biggr)
\Biggr) \\
&= \underset{f_i}{\text{argmax}}\ \frac{b_i^{[RF]}}{c_i^{[RF]}}
\frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl( \Bigl\{
\dfrac{
r_{g,t-s,i}^{[RF]} f_{g,t-s,i}^{[RF]}
}{
f_i
} \text{Hill} \Bigl( f_i; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)} \Bigr)
\Bigr\}_{s=0}^L \biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
\(b_i^{[RF]}\) と \(c_i^{[RF]}\) は目的関数を完全に除外するため、最適なフリークエンシーは予算配分に依存しません。そのため、まず最適なフリークエンシーを求めてから、その値を想定される結果の関数に代入して予算配分を最適化できます。
固定予算の最適化
合計予算 \(C\)として、固定予算を最適化する場合を考えてみます。この合計予算を使用して、すべての予算ベクトルのセットを \(B_C = \left\{b, b^{(rf)}:
\sum\limits_{m=1}^M b_m + \sum\limits_{n=1}^Nb_n^{(rf)}=C \right\}\)として定義します。Meridian では、各チャネルの最適な平均フリークエンシーまたは過去の平均フリークエンシーに基づいて、予算を最適化できます。最適化される量は、フリークエンシーが最適なフリークエンシーまたは過去のフリークエンシーであると仮定した場合に想定される結果です。次のように定義されます。この合計予算を使用して、すべての予算ベクトルのセットを \(B_C = \left\{b, b^{[RF]}:
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i + \sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} b_i^{[RF]}=C
\right\}\)として定義します。Meridian では、各チャネルの最適な平均フリークエンシーまたは過去の平均フリークエンシーに基づいて、予算を最適化できます。最適化される量は、フリークエンシーが最適なフリークエンシーまたは過去のフリークエンシーであると仮定した場合に想定される結果です。次のように定義されます。
最適なフリークエンシーで想定される結果:
\(EO_ \text{optimalfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{
x_{g,t,i}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],\text{optimal}]}, f_{\text{optimal},i}
\right\}\right)} \Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)
過去のフリークエンシーで想定される結果:
\(EO_ \text{historialfreq}\left(b,b^{[RF]}\right) = \sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1} E\left( \overset \sim Y_{g,t}^{\left(\left\{
x_{g,t,m}^{[b]}, r_{g,t,i}^{[b^[RF],f]}, f^{[RF]}_{g,t,i} \right\}\right)}
\Bigg| \left\{ z_{g,t,i} \right\}\right)\)
ここで、 \(f_{\text{optimal},i}\) と \(f_{g,t,i}\) は、 \(i\)番目のチャネルの最適なフリークエンシーと過去のフリークエンシーを表す事前定義プロパティです。
そのため、 \(b\) と \(b^{[RF]}\)の 2 つのパラメータがあります。
実際のパラメータ値は不明です。Meridian は、事後分布を使用して結果を推定します。予算を最適化するために、想定される結果の事後分布平均が目的関数として使用されます。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
最適なフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} =
\underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_ \text{optimalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data}
\right] \\
= \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal} \right)}
\text{Hill} \Bigl(
f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
過去のフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} =
\underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_{historicalfreq}\left( b,b^{[RF]} \right) \Big| Data
\right] \\
= \underset{b \in B_C,b^{[RF]} \in B_C}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)}
\text{Hill} \Bigl(
f_{g,t-s,}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
ここで
- \(J\) は、MCMC の事後抽出の合計数として定義されます。
- 各パラメータの \(j\) 番目の事後抽出は、上付き \(^{(j)}\)で表されます。
柔軟な予算の最適化
柔軟な予算の最適化では、合計予算を変動させながら、想定される結果が最適化されます。最適化プロセスには、最小限界費用対効果（mROI）または目標費用対効果による制約が適用される場合があります。また、最適化では、各チャネルの最適な平均フリークエンシーまたは過去の平均フリークエンシーが考慮されます。
目標費用対効果による制約
目標費用対効果が指定されている場合、Meridian は合計予算\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) を変動させながら、合計費用対効果が \(ROI \geq
ROI_{target}\ \forall i\)になるように、すべての予算ベクトル \(b=(b_1,\ldots,b_{N_M})\) を検索します。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
最適なフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} =
\underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data}
\right] \\
= \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{(b)} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)}
Hill \Bigl(
f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)
過去のフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_ \text{optimal}, b_{\text{optimal}}^{[RF]} =
\underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_ \text{historicalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data}
\right] \\
= \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f\right)}
\text{Hill} \Bigl(
f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \text{IncrementalOutcome}_i }{
\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i } > \text{ROI}_{target} \)
目標費用対効果による制約は、チャネルレベルではなく、マーケティングの合計費用対効果レベルで適用されます。
最小限界費用対効果による制約
最小限界費用対効果が指定されている場合、Meridian は、合計予算\(\sum\limits_{i=1}^{N_M} b_i\) を変動させながら、限界費用対効果が\(mROI_i \geq mROI_{minimal}\ \forall i\)となるように、すべての予算ベクトル \(b=(b_1, \ldots, b_{N_M})\) を検索します。最適な予算ベクトルは次のように定義されます。
最適なフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_ \text{optimal}, b_ \text{optimal}^{[RF]} =
\underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_ \text{optimalfreq}\left( b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data}
\right] \\
= \underset{b,b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left(b^{[RF]},f_ \text{optimal}\right)}
\text{Hill} \Bigl(
f_{\text{optimal},i}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_\text{minimal}\ \forall i \)
過去のフリークエンシーを使用した場合の最適な予算配分:
$$
\begin{align*}
b_\text{optimal}, b_\text{optimal}^{[RF]} =
\underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & E \left[
EO_\text{historicalfreq}\left(b, b^{[RF]} \right) \Big| \text{Data}
\right] \\
= \underset{b, b^{[RF]}}{\text{argmax}}\ & \frac{1}{J}
\sum\limits_{j=1}^J
\sum\limits_{g \in G}
\sum\limits_{t=t_0}^{t_1}
u_{g,t}^{[Y]} L_{g,t}^{[Y]-1} \Biggl(
\sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta_{g,i}^{[M](j)} \text{HillAdstock} \biggl(
\Bigl\{ x_{g,t-s,i}^{[b]} \Bigr\}_{s=0}^L;
\alpha_i^{[M](j)},
ec_i^{[M](j)},
\text{slope}_i^{[M](j)}
\biggr) \\ & +
\sum\limits_{i=1}^{N_{RF}} \beta_{g,i}^{[RF](j)} \text{Adstock} \biggl(
\Bigl\{ r_{g,t-s,i}^{\left( b^{[RF]},f \right)}
\text{Hill} \Bigl(
f_{g,t-s,i}^{[RF]}; ec_i^{[RF](j)}, \text{slope}_i^{[RF](j)}
\Bigr) \Bigr\}_{s=0}^L
\biggr)
\Biggr)
\end{align*}
$$
\( s.t.\ \text{mROI}_i(b_i) > \text{mROI}_{minimal}\ \forall i \)
最小限界費用対効果は、マーケティング全体レベルではなく、チャネルレベルで適用されます。
チャネルレベルの費用による制約
チャネルレベルの費用による制約は、固定予算と柔軟な予算の両方の最適化で適用できます。これを適用すると、すべての費用を 1 つのチャネルに投入するなど、非合理的な最適化結果を防ぐことができます。チャネルレベルの費用による制約は次のように定義されます。
$$
(b_i^{'} \times LB_i) \leq b_i \leq (b_i^{'} \times UB_i) \space \forall i
$$
ここで
- \(b_i^{'}\) は、チャネル $i$ の最適化されていない費用です。
- \(LB_i\) は、 \(0\)～ \(1\)の値になるユーザー指定の下限です。
- \(UB_i\) は、\(1\)より大きい値になるユーザー指定の上限です。
