Parametrisierung von ROI, Grenz-ROI und Beiträgen

Meridian kann so umparametrisiert werden, dass der ROI jedes Channels ein Parameter des Modells ist. So lassen sich bisherige ROI-Informationen wie Tests zur Steigerung der Conversions, Branchenbenchmarks oder andere Fachkenntnisse einbeziehen. Alternativ können auch weniger informative Priors verwendet werden. Mit ROI-Priors können alle Media-Channels gleich behandelt werden. Außerdem lässt sich mit ROI-Priors dieselbe Regularisierung channelübergreifend anwenden, wenn eine Regularisierung erforderlich ist, um eine bessere Modellkonvergenz oder Güte der Anpassung zu erreichen. Weitere Informationen zu dieser Abstimmungsmethode finden Sie unter Media-Mix-Modell mit bayesschen Priors abstimmen.

Alternativ kann Meridian so umparametrisiert werden, dass der Grenz-ROI jedes Channels ein Parameter des Modells ist. Wenn Sie den Grenz-ROI auf einen gemeinsamen Wert für alle Channels regularisieren, werden auch die empfohlenen Budgetverschiebungen aus der Budgetoptimierung regularisiert.

Schließlich kann Meridian so umparametrisiert werden, dass der Beitragsanteil (gesamtes zusätzliches Ergebnis geteilt durch gesamtes beobachtetes Ergebnis) ein Parameter des Modells ist. Der einzige Unterschied zwischen Priors für Beiträge und ROI-Priors besteht im Nenner: Der Nenner des Priors für Beiträge ist das gesamte beobachtete Ergebnis, während der Nenner des ROI-Priors die Gesamtausgaben für den Channel sind.

Die Umparametrisierung des ROI-, des Grenz-ROI- und des Beitragsmodells erfolgt so:

ROI

Für einen beliebigen Media-Channel \(m\)wird das damit erzielte inkrementelle Ergebnis so berechnet:

$$ \begin{align} \text{IncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right)\\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{align} $$

Dabei ist der Ausdruck $M_{g,t,m}$ so definiert:

$$ M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ , $$

Außerdem ist \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m \right)^2}\) die Standardabweichung der KPI-Werte in der Grundgesamtheit, wie in Eingabedaten definiert.

Die Beziehung zwischen $\beta_{g,m}$ und $\text{ROI}_m$ ergibt sich aus der folgenden Gleichung:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\ &= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ . \end{align*} $$

Jetzt kann $\beta_{g,m}$ so umparametrisiert werden:

$$ \begin{align*} \beta_{g,m} &= \begin{cases} \text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m}) &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \beta_m + \eta_m Z_{g,m} &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ , \end{cases} \end{align*} $$

Dabei hat \(Z_{g,m}\) eine Prior-Standardnormalverteilung, die unabhängig von allen anderen Modellparametern ist. Wird \(\beta_{g,m}\)durch diesen Ausdruck ersetzt, ergibt sich folgende Gleichung:

$$ \begin{align*} \beta_m &= \begin{cases} \text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) - \text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right) M_{g,t,m}\right) &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \dfrac{ \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} - \eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m} }{ \sum\limits_{g,t} M_{g,t,m} } &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\ \end{align*} $$

Daher ist $\beta_m$ eine Funktion von Zufallsparametern\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) und Daten\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t}, \{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\). Es besteht eine 1:1-Beziehung zwischen $\beta_m$ und $\text{ROI}_m$, wenn alle anderen Werte festgelegt sind. Das Modell kann daher mit $\text{ROI}_m$ anstelle von $\beta_m$ umparametrisiert werden. Einige wichtige Punkte:

  • Für die Parameter von $\text{ROI}_m$ kann eine beliebige vom Nutzer angegebene Prior-Verteilung verwendet werden.
  • Obwohl $\beta_m$ kein Modellparameter mehr ist, kann sein Wert für alle MCMC-Ziehungen (sowohl für Priors als auch Posteriors) berechnet werden, da er eine Funktion der anderen Parameter ist.
  • Bei media_effects_dist = Normal kann $\text{ROI}_m$ jeden Wert in \((-\infty, +\infty)\)annehmen. Bei media_effects_dist = LogNormal kann $\text{ROI}_m$ jeden Wert in \((0, +\infty)\)annehmen.

Wenn Sie das Modell im Hinblick auf den ROI umparametrisieren, ändert sich nur die Definition der Prior-Verteilungen. Bei der ROI-Parameterisierung wird eine unabhängige Prior-Verteilung auf\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) und nicht auf \((\beta_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\)angewendet. In beiden Fällen werden den Parametern \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)standardnormale Priors zugewiesen, die unabhängig voneinander und von allen anderen Modellparametern sind. Die ROI-Parameterisierung führt implizit zu einer Prior-Verteilung auf \(\beta_m\). Diese Verteilung ist jedoch nicht mehr unabhängig von \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\).

Standardmäßig definiert Meridian den Zähler des ROI-Priors, $IncrementalOutcome_m$, als Summe aller geografischen Einheiten und Zeiträume. Alternativ kann er mit den Argumenten roi_calibration_period und rf_roi_calibration_period auch als Summe für einen Teil der Zeiträume definiert werden. In bestimmten Fällen ist es besser, nur einen Teilsatz zu berücksichtigen, z. B. wenn Sie den ROI-Prior mit einem Test abstimmen, der ein bestimmtes Zeitfenster innerhalb des MMM-Zeitraums abdeckt. Weitere Informationen finden Sie unter Media-Mix-Modell mit bayesschen Priors abstimmen im Abschnitt 3.4. In den meisten Fällen empfehlen wir, den Prior über alle Zeiträume hinweg zu definieren und alle verfügbaren Testergebnisse als Entscheidungsfaktor innerhalb einer ganzheitlicheren Strategie zu verwenden, wie unter ROI-Priors und ‑Abstimmung beschrieben.

Channels mit Daten zu Reichweite und Häufigkeit

Die gleiche Umparametrisierung kann auch für Channels mit Daten zu Reichweite und Häufigkeit festgelegt werden:

$$ M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left( \left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n, \text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right) \ . $$

Alles andere bleibt gleich. Die Ableitung wird also nicht wiederholt.

Grenz-ROI

Alternativ kann anstelle der Prior-Verteilung für den ROI eine für den Grenz-ROI angegeben werden.

$$ \begin{alignat}{2} \text{MarginalIncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{ \text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\ & \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{alignat} $$

Dabei ist der Ausdruck $M_{g,t,m}$ jetzt so definiert:

$$ \begin{align} M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{ &\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\ &- \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \biggr\} \ . \end{align} $$

Die Beziehung zwischen $\beta_{g,m}$ und $\text{MarginalROI}_m$ ergibt sich aus der folgenden Gleichung:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ . \end{align*} $$

Die zuvor angegebene Gleichung für \(\beta_m\) gilt auch für Grenz-ROI-Priors, wenn Sie Folgendes tun:

  1. Die alternative Definition von \(M_{g,t,m}\)verwenden und
  2. \(\text{ROI}_m\) durch \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\)ersetzen

Beitrag

Die Beziehung zwischen $\beta_{g,m}$ und $\text{Contribution}_m$ ergibt sich aus der folgenden Gleichung:

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t} \cdot \ddot{y}_{g,t}\ . \end{align*} $$

Alles andere ist identisch wie bei ROI-Priors.

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Media – Übersättigung und Verzögerung