بالنسبة إلى قناة وسائط معيّنة \(q\)، يتم تعريف النتيجة المتزايدة على النحو التالي:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
المكان:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) هي قيم الوسائط المرصودة
- يشير\(\left\{ x_{g,t,m}^{[M] (0,q)} \right\}\) إلى قيم الوسائط المرصودة
لجميع القنوات باستثناء القناة \(q\)التي يتم ضبطها على القيمة صفر
في كل مكان. في ما يلي المزيد من التفاصيل:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
يتم تعريف عائد الاستثمار لقناة \(q\) على النحو التالي:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
المكان \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
يُرجى العِلم أنّ المقام في عائد الاستثمار يمثّل تكلفة الوسائط على مدار فترة زمنية محدّدة تتوافق مع الفترة الزمنية التي يتمّ فيها تحديد النتيجة المتزايدة. ونتيجةً لذلك، تتضمّن النتيجة المتزايدة في البسط التأثير المتأخر للوسائط التي تم تنفيذها قبل هذه الفترة الزمنية، كما تستبعد بالمثل التأثير المستقبلي للوسائط التي تم تنفيذها خلال هذه الفترة الزمنية. وبالتالي، فإنّ النتيجة المتزايدة في المرّب لا تتوافق تمامًا مع التكلفة في المقام. ومع ذلك، سيكون هذا الانحراف أقل أهمية على مدار فترة زمنية طويلة بشكل معقول.
يُرجى العِلم أنّه قد لا يتم تمثيل سيناريو الوسائط البديل (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) في البيانات. وعندما يحدث ذلك، يكون التوقّع استنادًا إلى افتراضات النموذج ضروريًا لاستنتاج النتيجة الافتراضية.
من خلال تعميم تعريف النتيجة المتزايدة، يتم تعريف منحنى الاستجابة للقناة \(q\) كدالة تعرض النتيجة المتزايدة كأحد دالات الإنفاق على القناة \(q\):
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
حيث يشير \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) إلى قيم الصعوبة المرصودة لجميع القنوات باستثناء القناة \(q\)، والتي تُضرب في عامل الصعوبة \(\omega\) في كل مكان. على وجه التحديد:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
يتم تعريف عائد الاستثمار الهامشي للقناة \(q\) على النحو التالي:
حيث يكون \(\delta\) كمية صغيرة، مثل \(0.01\).
يُرجى العِلم أنّ منحنى الاستجابة وتعريفات عائد الاستثمار الهامشي تفترضان ضمنيًا تكلفة ثابتة لكل وحدة وسائط تساوي متوسط التكلفة السابقة لكل وحدة وسائط.