Resultado incremental
Para un canal de medios \(q\)determinado, el resultado incremental se define de la siguiente manera:
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
Donde:
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) son los valores de medios observados.
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M] (0,q)} \right\}\) denota los valores de medios observados para todos los canales, excepto el canal \(q\), que se establece en cero en todas partes. Más específicamente:
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
ROI
El ROI del canal \(q\) se define de la siguiente manera:
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
Aquí se considera lo siguiente: \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)
Ten en cuenta que el denominador del ROI representa el costo de medios durante un período especificado que se alinea con el período durante el cual se define el resultado incremental. En consecuencia, el resultado incremental en el numerador incluye el efecto rezagado de los medios ejecutados antes de este período y, de manera similar, excluye el efecto futuro de los medios ejecutados durante este período. Por lo tanto, el resultado incremental en el numerador no se alinea perfectamente con el costo en el denominador. Sin embargo, esta falta de alineación será menos significativa en un período razonablemente largo.
Ten en cuenta que la situación contrafáctica de los medios (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) podría no estar representada realmente en los datos. Si esto sucede, se requiere realizar una extrapolación basada en los supuestos del modelo para inferir el resultado contrafáctico.
Curvas de respuesta
Cuando se generaliza la definición de resultado incremental, la curva de respuesta para el canal \(q\) se expresa en una función que devuelve el resultado incremental como una función de la inversión en el canal \(q\):
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
Aquí \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) indica los valores de medios observados para todos los canales, excepto el canal \(q\), que se multiplica por un factor de \(\omega\) en todas partes. Más específicamente:
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
ROI marginal (mROI)
El ROI marginal (mROI) del canal \(q\) se define de la siguiente manera:
Aquí, \(\delta\) es una cantidad pequeña, como \(0.01\).
Ten en cuenta que las definiciones de curva de respuesta y de ROI marginal suponen implícitamente un costo constante por unidad de medios que es igual al costo promedio histórico por unidad de medios.