交換可能性および整合性の仮定に基づいて、潜在的な結果の条件付き期待値 \(\overset \sim Y_{g,t}^{
\left(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}\right) }\) は、回帰モデルによって推定できる条件付き期待値で表すことができます。ここで、\(x_{g,t,i}^{(\ast)}\) は、介入可能な介入群変数（メディア、オーガニック メディア、メディア以外の介入群）のセットを表します。デモ用に、ここでは有料メディアとオーガニック メディアのチャネルがインプレッション ベースであると仮定します。ただし、リーチとフリークエンシー ベースのチャネルにも当てはまります。
入力データで説明されている定義から、これは次のように記述できます。
$$
\begin{align*}
\overset \sim Y_{g,t} &= u_{g,t}^{[Y]} \overset {\cdot \cdot} Y_{g,t} \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t})
\end{align*}
$$
メリディアンでは、モデリング前の KPI 変換関数 \(L_{g,t}^{[Y]}(\cdot)\) が線形であるため、条件付き期待値演算子の外部に渡すことができるという事実も利用しています。最終的に、次の等式が得られます。ここで、結果はメリディアン モデルなどの回帰モデルから推定できる量です。
$$
\begin{align*}
E\left(\overset \sim Y_{g,t}^{(\left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\})} \Big|
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)
&= E\left( \overset \sim Y_{g,t} \Big|
\bigl\{x_{g,t,i}^{(\ast)}\bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= E\left( u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}(Y_{g,t}) \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right) \\
&= u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1} E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{z_{g,t,i}\bigr\} \right)
\end{align*}
$$
これに基づいて回帰分析を使用し、2 つの反事実的シナリオである \(\left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\}\)と \(\left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\}\)の間の結果の増分を推定できます。
$$
\begin{align*}
\text{IncrementalOutcome} \left( \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\} \right)
&= E\left( \sum\limits_{g,t}\left( \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(1)} \right\} \right)
} - \overset \sim Y_{g,t}^{
\left( \left\{ x_{g,t,i}^{(0)} \right\} \right)
} \right) \Bigg| \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_g^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(1)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right)\right) -
\sum\limits_{g,t}u_{g,t}^{[Y]}L_{g,t}^{[Y]-1}
\left( E\left( Y_{g,t} \Big| \bigl\{ x_{g,t,i}^{(0)} \bigr\},
\bigl\{ z_{g,t,c} \bigr\}
\right) \right)
\end{align*}
$$
メリディアン モデルの仕様で、次のように指定します。
$$
\begin{align*}
E\left( Y_{g,t} \Big|
\bigl\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \bigr\}, \bigl\{ z_{g,t,i} \bigr\} \right) =
\mu_t &+ \tau_g + \sum\limits_{i=1}^{N_C} \gamma^{[C]}_{g,i}z_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_N} \gamma^{[N]}_{g,i}x^{[N] (\ast)}_{g,t,i} \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_M} \beta^{[M]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[M] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[M]}_i, ec^{[M]}_i, \text{slope}^{[M]}_i
\right) \\
&+ \sum\limits_{i=1}^{N_{OM}} \beta^{[OM]}_{g,i} \text{HillAdstock} \left(
\bigl\{ x^{[OM] (\ast)}_{g,t-s,i} \bigr\}^L_{s=0};\ \alpha^{[OM]}_i, ec^{[OM]}_i, \text{slope}^{[OM]}_i
\right)
\end{align*}
$$
この量はモデル パラメータの関数であるため、メリディアンがマルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）を使用してサンプリングできる事後分布があります。ROI、mROI、応答曲線は、結果の増分の定義に基づいて計算できます。これらの量それぞれに事後分布もあります。
